Mathematical Analysis

Download Analyse : Cours de mathématiques - Première année by Arnaud Bodin et al. PDF

Posted On April 17, 2017 at 6:26 pm by / Comments Off on Download Analyse : Cours de mathématiques - Première année by Arnaud Bodin et al. PDF

By Arnaud Bodin et al.

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence scientifique. Clair, complet et convivial, c'est l'outil de travail idéal pour aborder sereinement le programme de mathématiques du supérieur. Ce tome suggest l'intégralité du cours d'analyse de première année, illustré par de nombreuses figures et des exemples traités en détails. Cet ouvrage, issu du projet Exo7, se complète par des ressources en ligne : vidéos de cours ou exercices corrigés. Vous avez en major tout pour réussir votre première année ! Chapitres du livre Les nombres réels Les suites Limites et fonctions maintains Fonctions usuelles Dérivée d’une fonction Intégrales Développements limités Courbes paramétrées Équations différentielles Leçons de choses

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On dit que : ∀x ∈ U f (x) M ; • f est majorée sur U si ∃M ∈ ∀x ∈ U f (x) m ; • f est minorée sur U si ∃m ∈ • f est bornée sur U si f est à la fois majorée et minorée sur U, c’est-à-dire si ∃M ∈ M. Voici le graphe d’une fonction bornée (minorée par m et majorée par M ). y M x m ∀x ∈ U | f (x)| LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES 1. 4. Fonctions croissantes, décroissantes Définition 4. Soit f : U → une fonction. On dit que : • f est croissante sur U si ∀x, y ∈ U • • • • x y =⇒ f (x) f ( y) f est strictement croissante sur U si ∀x, y ∈ U x < y =⇒ f (x) < f ( y) f est décroissante sur U si ∀x, y ∈ U x y =⇒ f (x) f ( y) f est strictement décroissante sur U si ∀x, y ∈ U x < y =⇒ f (x) > f ( y) f est monotone (resp.

Considérons la fonction carrée définie sur par f (x) = x 2 . La fonction f n’est pas strictement monotone sur : elle n’est pas même pas injective car un nombre et son opposé ont même carré. Cependant, en restreignant son ensemble de définition à ] − ∞, 0] d’une part et à [0, +∞[ d’autre part, on définit deux fonctions strictement monotones : ] − ∞, 0] −→ [0, +∞[ [0, +∞[−→ [0, +∞[ f1 : et f2 : x −→ x 2 x −→ x 2 On remarque que f (] − ∞, 0]) = f ([0, +∞[) = [0, +∞[. D’après le théorème précédent, les fonctions f1 et f2 sont des bijections.

On considère la suite (un )n∈ de terme général un = (−1)n . Alors on peut considérer les deux sous-suites (u2n )n∈ et (u2n+1 )n∈ . 2. On considère la suite (vn )n∈ de terme général vn = cos n. Le théorème affirme qu’il existe une sous-suite convergente, mais il est moins facile de l’expliciter. Démonstration du théorème 4. On procède par dichotomie. L’ensemble des valeurs de la suite est par hypothèse contenu dans un intervalle [a, b]. Posons a0 = a, b0 = b, φ(0) = 0. Au moins l’un des deux intervalles a +b a +b a0 , 0 2 0 ou 0 2 0 , b0 contient un pour une infinité d’indices n.

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